Posteado por: Javi Domínguez | 22/06/2014

Los números que llevamos en la cartera. Curiosidades matemáticas

La letra del DNI

Averiguar la letra del DNI (Documento Nacional de Identidad) es muy fácil. Se calcula el módulo 23 del número del DNI. El módulo es el resto que nos queda al dividir, en este caso, por 23.

Por ejemplo, si tenemos el DNI 12345678, al dividirlo entre 23 nos dá 536768 y nos queda un resto de 14.

El resultado siempre será un número entre 0 y 22. Ahora solo queda sustituir el número por la letra correspondiente en esta tabla de asignación:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
T R W A G M Y F P D X B N J Z S Q V H L C K E

La letra 14 es la Z. ¡Ya está!

 

Los números de serie de los billetes

Vamos a hacer un poco de magia con los billetes.

  • Pilla un billete de euro de cualquier valor, excepto los nuevos de 5 que han cambiado un poco el sistema.
  • Busca el número de serie y verás que está formado por una letra y 11 dígitos.
  • La letra indica el país que emitió el billete. La V corresponde a España.
  • La última cifra es un dígito de control que se calcula así:
  1. Se suman las 10 cifras del número de serie.
  2. Se le suma también el valor de la letra según su posición en el alfabeto
    (a=1, b=2, c=3… v=22)
  3. Del resultado se vuelven a sumar todas las cifras y así sucesivamente hasta que quede un número de una sola cifra.*
  4. El dígito de control es la diferencia entre 8 y el número obtenido.
    Si hubiéramos obtenido, por ejemplo, 3, el dígito de control sería 8-3= 5

Este método sirve también para calcular cualquier cifra del número de serie, no sólo el dígito de control. Aprovecha esta propiedad para sorprender a un amigo:

  1. Pídele que elija una cifra cualquiera del número de serie, que no sea un 9.
  2. Pídele luego que te escriba en un papel el resto de cifras, incluida la letra; o que te las recite despacito si te ves capaz de calcularlo de cabeza.
  3. Reduce a una sola cifra, como hemos visto antes, sumando sucesivamente todas las cifras.
  4. El resultado se lo restas a 8 y ¡TACHÁN! Has averiguado el número que seleccionó tu amigo.

Creo que ya no necesito decir que todos los números de serie de todos los billetes de euro se reducen siempre a 8. Si tienes alguno que no lo hace, deshazte pronto de él.

 

El número de cuenta bancaria y el código IBAN

Esto no tiene mucha utilidad práctica, ya lo calcula el banco por nosotros, pero es curioso de saber.

El CCC (Código de Cuenta Cliente) es un número de 20 dígitos. Los cuatro primeros indican la entidad bancaria según un registro del Banco de España. Los cuatro siguientes corresponden a la oficina. Luego vienen dos cifras que son dígitos de control, ahora veremos como se calculan, y por último tenemos las diez cifras del número de cuenta.

El cálculo de los dígitos de control es un poco más laborioso de lo que hemos visto hasta ahora. Usaremos módulo 11 (ya sabemos lo que es el módulo).

Para el primer dígito:

  1. Multiplicamos las 4 primeras cifras así: la primera por 4, la segunda por 8, la tercera por 5 y la cuarta por 10.
  2. Multiplicamos las siguientes 4 cifras así: la primera por 9, la segunda por 7, la tercera por 3 y la cuarta por 6.
  3. Lo sumamos todo y calculamos módulo 11 de la suma. Es decir, dividimos el total entre 11 y nos quedamos con el resto, que llamaremos R.
  4. El dígito que buscamos es 11-R (11 menos el resto obtenido antes). Si sale 10 lo sustituimos por 1 y si sale 11 ponemos un 0.

Vamos por el segúndo dígito:

  1. Multiplicamos cada una de las diez cifras del número de cuenta así: la 1ª por 1, la 2ª por 2, la 3ª por 4, la 4ª por 8, la 5ª por 5, la 6ª por 10, la 7ª por 9, la 8ª por 7, la 9ª por 3 y la 10ª por 6.
  2. Lo sumamos todo y de lo que nos dé calculamos módulo 11.
  3. El resultado de lo anterior se lo restamos a 11, como antes, y ese será el segundo dígito de control. De nuevo, si sale 10 ponemos 1 y si sale 11 ponemos 0.

Ahora vamos a calcular el IBAN (código internacional de cuenta bancaria). Tenemos que añadirle 4 caracteres delante a nuestro CCC. Los dos primeros son letras que identifican el país. En españa “ES”. En Suiza “CH”, en Luxemburgo “LU” y en Gibraltar “GI” , por si a alguien le hace falta 😉

Los dos números siguientes son, como no, dígitos de control. Se calculan así:

  1. Añadimos detrás del CCC las cifras 142800 (Sólo en España, para otros países es diferente).
  2. A todo ese número tan grande le calculamos módulo 97. Es decir, lo dividimos entre 97 y nos quedamos con el resto. Lo llamaremos R.
  3. Ahora hacemos 98-R (98 menos el resto) y ese será nuestro dígito de control. Si sale un número de una sola cifra le añadimos un 0 delante. Por ejemplo 6 = 06, el código IBAN sería ES06.

Y eso es todo.

 

La tarjeta de crédito

El número de la tarjeta

El número de nuestra tarjeta consta de 16 dígitos. Vienen separados en grupos de cuatro, pero eso es sólo por claridad, la separación no indica nada. El significado de los 16 números es el siguiente:

  1. Los cuatro primeros dígitos identifican la entidad que tuvo a bien concedernos la tarjeta.
  2. El siguiente dígito, el quinto, indica el tipo de tarjeta (Visa, American Express…)
  3. Los diez siguientes son el identificador único de la tarjeta,.
  4. Y el último, para variar, es un dígito de control. Sirve para confirmar que el número de la tarjeta es un número válido.

Para calcular el dígito de control se usa el algoritmo de Luhn:

  1. De izquierda a derecha, tomamos las cifras que aparecen en las posiciones impares y las multiplicamos por 2. Si el número obtenido es menor que 10 nos quedamos con él pero si es 10 o mayor que 10 sumamos sus cifras hasta obtener un número de una sola cifra, como hicimos con los billetes.
  2. Sumamos todos los resultados obtenidos en el paso anterior. Al resultado lo llamaremos A.
  3. Sumamos todos los dígitos que aparecen en las posiciones pares del número de la tarjeta (excepto el dígito de control, que es el que no sabemos). Llamaremos B al resultado.
  4. Sumamos los dos resultados anteriores, A+B, y al total le vamos restando 10 hasta obtener un número entre 0 y 9. O lo que es lo mismo, calculamos suma módulo 10. O lo que es lo mismo, nos quedamos con la última cifra de la derecha y descartamos las demás. ¿Quién dijo que las matemáticas eran difíciles?
  5. El dígito de control es 10 menos el valor obtenido en el paso anterior.

La forma de las tarjetas

Vamos a descansar un poco de tanto dígito de control.

¿Os habéis preguntado alguna vez por qué las tarjetas de crédito tienen la forma que tienen y no otra? No es casualidad. Haced una prueba. Medid el alto y el ancho de una tarjeta de crédito y calculad el cociente de ambas longitudes. Os saldrá un número aproximadamente como este: 1,618

¿Y qué tiene de particular este número? Pues se llama número áureo y tiene un montón de propiedades curiosas y sorprendentes.

Veamos unas pocas:

  • tanto si lo elevamos al cuadrado como si le sumamos uno, el resultado final es el mismo.
  • El nautilus, una especie de molusco, tiene una concha cuya forma es prácticamente idéntica a la de la espiral logarítmica, que se construye a partir de continuas divisiones de rectángulos áureos.**
  • El crecimiento de las ramas de los árboles suele seguir la serie de Fibonacci, al igual que las hojas de las que se componen muchas flores. Esta serie, que viene determinada por los números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… se forma a partir de la suma de los dos últimos elementos de la serie; si calculáis el cociente de dos números consecutivos, os daréis cuenta de que, cuanto más grandes sean éstos, el resultado tiende a ser igual al número áureo.
  • La cantidad de espirales de una piña (ocho y trece espirales), flores o inflorescencias también sigue la serie de Fibonacci.
  • En el cuerpo humano el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las falanges de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también este número.
  • Y etcétera…

Termino por hoy. Quería escribir algo entretenido y me ha salido un tostón. Si has llegado hasta aquí es que eres casi tan friki como yo.

Otro día escribiré sobre el ISBN de los libros que, claro, también tiene dígito de control.

 

* Eso de sumar las cifras de un número para reducirlas a una sóla lo llevan haciendo cabalistas y numerólogos desde hace… siglos, dicen ellos. Los magufos lo llaman la “reducción teosófica” y le atribuyen toda clase de propiedades adivinatorias. Pero no hay nada de mágico en ello, es simple aritmética modular, como la que hemos visto. Si tenemos un número como, por ejemplo, 421567 podemos reducirlo sumando cifra a cifra, pero también simplemente calculando su módulo 9. Podemos usar incluso una calculadora de esas sencillas aunque no tenga la función módulo. Dividimos entre 9 y obtendremos un resultado con la forma:

  • x,111111…
  • x,222222…
  • x,333333…
  • etc

Ese dígito que se repite indefinidamente en la parte decimal es el número que buscamos. Y cuando en el resultado no salga parte decimal, el número será 9. Fácil.

 

** Esto del molusco parece que no está tan claro.

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